HÌNH HỌC 9 CHƯƠNG 2

     

Để học xuất sắc Toán lớp 9, Top giải thuật biên soạn chăm đề sơ đồ bốn duy toán 9 chương 2 hình học. Siêng đề bao hàm sơ đồ bốn duy, kim chỉ nan và các dạng bài tập tương quan đến chương 2: Đường tròn. Đây là những kỹ năng và kiến thức rất quan trọng đặc biệt giúp các em học giỏi Toán 9 cũng như đạt điểm trên cao môn Toán vào kỳ thi vào lớp 10 chuẩn bị tới.

Bạn đang xem: Hình học 9 chương 2

A. Sơ đồ tứ duy toán 9 chương 2 hình học- mặt đường tròn

1. Sơ đồ tư duy toán 9 chương 2 hình học triết lý đường tròn

*

*

*

2. Sơ đồ tư duy toán 9 chương 2 hình học các công thức đường tròn

*

B. định hướng Đường tròn


I. Sự xác định của đường tròn, đặc thù đối xứng của mặt đường tròn

1. Đường tròn

- Đường tròn trung tâm O nửa đường kính R (R > 0) là hình gồm những điểm biện pháp điểm O một khoảng cách bằng R.

2. Vị trí kha khá của một điểm cùng với một con đường tròn

- mang lại đường tròn trọng tâm (O;R) cùng điểm M.

+ M nằm trên phố tròn (O;R) ⇔ OM = R

+ M nẳm trong đường tròn (O;R) ⇔ OM R

3. Cách khẳng định đường tròn

- Qua cha điểm không trực tiếp hàng ta vẽ được một và có một đường tròn.

4. đặc điểm đối xứng của đường tròn

- Đường tròn là hình bao gồm tâm đối xứng. Trung ương của mặt đường tròn là trung khu đối xứng của của mặt đường tròn đó.

- Đường tròn là hình có trục đối xứng, trục ngẫu nhiên đường kính nào cũng là trục đối xứng của mặt đường tròn.

II. Dây của mặt đường tròn

1. đối chiếu độ nhiều năm của 2 lần bán kính và dây

- trong những dây của con đường tròn dây lớn số 1 là con đường kính

2. Quan hệ nam nữ vuông góc giữa đường kính và dây

- trong một con đường tròn, 2 lần bán kính vuông góc với một dây thì trải qua trung điểm của dây ấy.

- vào một con đường tròn, 2 lần bán kính đi qua trung điểm của 1 dây thì vuông góc với dây ấy.

3. Contact giữa dây và khoảng cách từ chổ chính giữa đến dây

+ trong một đường tròn:

2 dây bằng nhau thì phương pháp đều tâm

2 dây giải pháp đều chổ chính giữa thì bằng nhau

+ vào 2 dây của 1 đường tròn

Dây như thế nào lớn hơn thì dây đó gần trọng điểm hơn

Dây nào nhỏ hơn thì dây đó xa trung tâm hơn

III. Vị trí kha khá của con đường thẳng với đường tròn

1. Vị trí kha khá của đường thẳng với đường tròn

- mang lại đường tròn vai trung phong (O;R) và đường thẳng Δ, đặt d = d(O,Δ) khi đó:

Đường thẳng giảm đường tròn tại 2 điểm phân biệt ⇔ d

Đường trực tiếp tiếp xúc với con đường tròn ở 1 điểm ⇔ d=R

Đường trực tiếp và đường tròn ko giao nhau ⇔ d>R

- Khi mặt đường thẳng và con đường tròn tiếp xúc nhau thì mặt đường thẳng được call là tiếp đường của con đường tròn. Điểm phổ biến giữa con đường thẳng và mặt đường tròn hotline là tiếp điểm.

2. Dấu hiệu phân biệt tiếp tuyến của mặt đường tròn

- nếu 1 con đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm

- Nếu 1 đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với nửa đường kính đi qua điểm này thì đường chiến thắng ẩy là tiếp tuyến đường cùa con đường tròn.

3. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

- Nếu hai tiếp tuyến đường cùa một con đường tròn giảm nhau trên một điểm thì:

Điếm đó phương pháp đều nhì tiếp điểm.

Tia kẻ từ đặc điểm đó đi qua trung tâm là tia phân giác của góc tạo vì chưng hai tiếp tuyến.

Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo vì hai bán kính (đi qua những tiếp điểm)

4. Đường tròn nội tiếp tam giác

- Đường tròn xúc tiếp với ba cạnh cùa một tam giác được call là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác được hotline là ngoại tiếp con đường tròn.

- trung ương cùa mặt đường tròn nội tiếp tam giác được hotline là giao điểm cùa những đường phân giác các góc trong tam giác.

5. Đường tròn bàng tiếp tam giác

- Đường tròn xúc tiếp với một cạnh cùa một tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dãn dài của hai cạnh tê được gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.

- với cùng một tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp.

- trọng tâm cùa mặt đường tròn bàng tiếp tam giác vào góc A là giao điểm cùa hai tuyến đường phân giác các góc ngoại trừ tại B cùng C, hoặc là giao điểm cùa con đường phân giác góc A và mặt đường phân giác quanh đó tại B (hoặc C).

IV. Vị trí tương đối của hai đường tròn

1. Tính chất đường nối tâm

- Đường nối tâm của hai đường tròn là trục đối xứng cùa hình có cà hai đường tròn đó.

- Nếu hai đường tròn cắt nhau thì nhị giao điếm đồi xứng cùng nhau qua mặt đường nối tâm.

- Nếu hai con đường tròn xúc tiếp nhau thì tiếp điểm nằm trê tuyến phố nối tâm.

2. Vị trí kha khá của hai tuyến đường tròn.

+ mang đến 2 đường tròn (O; R) và (O"; r) đặt OO"=d

- hai tuyến phố tròn giảm nhau trên 2 điểm ⇔ R-r

Tiếp xúc trong ⇔ d = R - r

Tiếp xúc ngoài ⇔ d = R + r

- hai đường trong ko giao nhau

+ Ở ngoại trừ nhau ⇔ d > R + r

+ O cất O" ⇔ d 3. Tiếp tuyến chung của nhì đường tròn

- Tiếp tuyến thông thường cùa hai đường tròn là con đường thẳng tiếp xúc đối với cả hai mặt đường tròn đó.

- Tiếp tuyến chung không tính là tiếp tuyến tầm thường không cắt đoạn nối tâm.

- Tiếp tuyến bình thường trong là tiếp tuyến thông thường cắt đoạn nối tâm.

V. Liên hệ giữa cung cùng dây

1. Định lí 1

+ Với hai cung nhỏ tuổi trong một đường tròn tuyệt trong hai tuyến phố tròn bởi nhau:

- hai cung bằng nhau căng hai dây bởi nhau.

- nhị dây đều bằng nhau căng nhì cung bằng nhau.

2. Định lí 2

+ Với nhị cung nhỏ trong một mặt đường tròn hay trong hai tuyến phố tròn bằng nhau:

- Cung lớn hơn căng dây khủng hơn.

- Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

3. Té sung

+ vào một mặt đường tròn, nhị cung bị khuất giữa hai dây tuy nhiên song thì bởi nhau.

+ vào một mặt đường tròn, 2 lần bán kính đi qua điếm ở trung tâm của một cung thì trải qua trung điểm của dây căng cung ấy.

+ trong một mặt đường tròn, 2 lần bán kính đi qua trung điểm của một dây (không trải qua tâm) thì trải qua điếm ở chính giữa của cung bị căng vị dây ấy.

+ trong một mặt đường tròn, đường kính đi qua điếm tại chính giữa của một cung thì vuông góc cùng với dây căng cung ấy cùng ngược lại.

VI. Góc nội tiếp con đường tròn

1. Định nghĩa: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên tuyến đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của con đường tròn ấy.

- Cung nằm phía bên trong góc được gọi là cung bị chắn.

2. Định lí: trong một mặt đường tròn, số đo của góc nội tiép bằng nửa số đo của cung bị chắn.

3. Hệ quả

+ trong một đường tròn:

- những góc nội tiếp đều nhau chắn những cung bởi nhau.

- những góc nội tiếp thuộc chắn một cung hoặc chắn các cung đều bằng nhau thì bằng nhau.

- Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90° có số đo bởi nửa số đo của góc nghỉ ngơi tâm cùng chắn một cung.

- Góc nội tiếp chắn nửa con đường trònlà góc vuông.

Xem thêm: Hướng Dẫn Cài Ch Play Cho Blackberry Passport 2018, Page Not Found

VII. Góc tạo vì tiếp đường và dây cung

1. Định lí: Số đo của góc tạo bởi vì tiếp đường và dây cung bởi nửa số đo của cung bị chắn.

2. Hệ quả: vào một đường tròn, góc tạo vì tia tiếp đường và dây cung cùng góc nội tiếp thuộc chắn một cung thì bằng nhau.

3. Định lí (bổ sung)

- ví như góc BAx (với đỉnh A nằm trên phố tròn, một cạnh chứa dây cung AB), có số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên phía trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến của con đường tròn.

VIII. Góc sinh hoạt đỉnh mặt trong, với góc sinh hoạt đỉnh bên ngoài đường tròn

Định lí 1: Số đo của góc gồm đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng so đo nhì cung bị chắn.

Định lí 2: Số đo của góc có đỉnh ở phía bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu so đo nhì cung bị chắn.

IX. Cung đựng góc

1. Quỹ tích cung cất góc

- với đoạn trực tiếp AB cùng góc ∝ (00 

Hai cung cất góc ∝ nói trên là hai cung tròn đối xứng với nhau qua AB.

Hai điếm A, B được coi là thuộc quỹ tích.

Đặc biệt: Quỹ tích các điếm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là mặt đường tròn đường kính AB.

2. Giải pháp vẽ cung đựng góc ∝

Vẽ đường trung trực d của đoạn thắng AB.

Vẽ tia Ax chế tác với AB một góc ∝

Vẽ đường thẳng Ay vuông góc cùng với Ax. Gọi O là giao điểm của Ay với d.

Vẽ cung AmB, tâm O, bán kính OA thế nào cho cung này nằm tại nửa khía cạnh phẳng bờ AB không cất tia Ax. Cung AmB được vẽ như trên là một cung cất góc ∝.

3. Phương pháp giải việc quỹ tích

- Muốn chứng tỏ quỹ tích (tập hợp) những điếm M vừa lòng tính chất T là một hình H làm sao đó, ta phải chứng tỏ hai phần:

Phần thuận: mọi điếm có đặc thù T hồ hết thuộc hình H.

Phần đảo: gần như điểm trực thuộc hình H đều phải sở hữu tính hóa học T.

Kết luận: Quỹ tích các điếm M có tính chất T là hình H.

X. Tứ giác nội tiếp

*

*

*

1. Định nghĩa: Một tứ giác tất cả bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được hotline là tứ giác nội tiếp đường tròn.

2. Định lí

- trong một tứ giác nội tiêp, tổng số đo 2 góc đối lập bằng 180o

- nếu như một tứ giác có tổng số đo 2 góc đối lập bằng 180o thì tứ giác kia nội tiếp được con đường tròn.

3. Một trong những dấu hiệu phân biệt tứ giác nội tiếp

*

- Tứ giác bao gồm bốn đỉnh nằm tại một đường tròn là tứ giác nội tiếp con đường tròn.

- Tứ giác có tổng số đo 2 góc đối diện bằng 180o thì tứ giác kia nội tiếp được mặt đường tròn.

- Tứ giác ABCD gồm 2 đỉnh C cùng D sao cho 

*
thì tứ giác ABCD nội tiếp được.

XI. Đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp

1. Định nghĩa

*

- Đường tròn đi qua toàn bộ các đỉnh của một nhiều giác được điện thoại tư vấn là đường tròn nước ngoài tiếp đa giác cùng đa giác được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn.

- Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một nhiều giác được call là mặt đường tròn nội tiếp nhiều giác và đa giác được call là đa giác nước ngoài tiếp mặt đường tròn.

2. Định lí

- bất cứ đa giác phần lớn nào cũng có thể có một và duy nhất đường tròn ngoại tiếp, gồm một và có một đường tròn nội tiếp.

- vai trung phong của hai tuyến phố tròn này trùng nhau và được gọi là tâm của nhiều giác đều.

- trung tâm này là giao điểm hai đường trung trực của nhì cạnh hoặc là hai tuyến phố phân giác của nhị góc.

* Chú ý:

- nửa đường kính đường tròn nước ngoài tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm đến đỉnh.

- bán kính đường tròn nội tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm O đến 1 cạnh.

- cho n_ giác (đa giác bao gồm n cạnh) phần đông cạnh a. Lúc đó:

Chu vi của đa giác: 2p = na (p là nửa chu vi)

Mỗi góc sinh sống đỉnh của đa giác có số đo bằng: 180o(n-2)/n

Mỗi góc ở trung tâm của đa giác bao gồm số đo bằng: 360o/n

Bán kính con đường tròn nước ngoài tiếp R = a/(2sin(180o/n)) ⇒ a = 2.R.sin(180o/n)

Bán kính đường tròn nội tiếp r = a/(2tan(180o/n)) ⇒ a = 2.r.tan(180o/n)

Liên hệ giữa nửa đường kính đường tròn nước ngoài tiếp cùng nội tiếp: R2 - r2 = a2/4

Diện tích đa giác đều: S = (1/2)nar

XII. Độ dài mặt đường tròn, cung tròn

1. Phương pháp tính độ dài con đường tròn (chu vi con đường tròn)

- Độ nhiều năm C của một con đường tròn bán kính R được xem theo cách làm C = 2πR hoặc C = πd(d=2R)

2. Công thức tính độ lâu năm cung tròn

Trên mặt đường tròn nửa đường kính R, độ dài l của một cung no được tính theo công thức: 

*

XIII. Diện tích s hình tròn, hình quạt tròn

1. Công thức tính diện tích hình tròn

- diện tích S của một hình tròn bán kính R được xem theo công thức: S = πR2

2. Bí quyết tính diện tích hình quạt tròn

- diện tích hình quạt tròn nửa đường kính R cung no được tính theo công thức 

*
 (l là độ nhiều năm cung no của hình quạt tròn)

C. Các dạng bài tập về mặt đường tròn

Dạng 1: chứng minh nhiều điểm thuộc thuộc 1 mặt đường tròn

* Phương pháp: Chứng minh những điểm đang cho giải pháp đều 1 điểm cho trước

Ví dụ: Cho tam giác ABC có bố góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), các đường cao theo thứ tự là AD, BE, CF. Minh chứng rằng, bốn điểm B,C,E,F thuộc nằm trên một con đường tròn.

* Lời giải:

*

⇒ E và F thuộc nằm trên tuyến đường tròn đường kính BC.

⇒ Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một con đường tròn.

Dạng 2: Xác định trọng điểm và nửa đường kính của mặt đường tròn ngoại tiếp

* Phương pháp:

- Tam giác thường: Vẽ hai tuyến đường trung trực, giao của 2 mặt đường trung trực là tâm của con đường tròn ngoại tiếp tam giác

- Tam giác vuông: Tâm mặt đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền

- Tam giác cân: Tâm của con đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm trên đường cao hạ từ đỉnh xuống đáy tam giác.

- Tam giác đều: Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác trùng cùng với trọng tâm, trực trung tâm và trung tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

Ví dụ 1: Tính bán kính của đường tròn nước ngoài tiếp tam giác ABC vuông cân gồm cạnh góc vuông bởi a.

* Lời giải:

- Theo định lý pitago ta tính chiều nhiều năm cạnh huyền, ta có:

- vị tam giác vuông cân, nên tâm mặt đường tròn là trung điểm của cạnh huyền và chiều dài bán kính là:

*

Ví dụ 2: Xác định trọng điểm và nửa đường kính của mặt đường tròn trung ương (O) ngoại tiếp tam giác đều ABC có cạnh bởi a.

* Lời giải:

*

Bài tập 1: Cho hình thoi ABCD .Gọi O là giao điểm hai đường chéo ; M,N,R,S là hình chiếu của O thứu tự trên AB , BC, CD cùng DA . Chứng minh 4 điểm M,N,R,S trực thuộc một đường tròn .

* Lời giải: Chứng minh 4 tam giác vuông bởi nhau.

ΔMBO = ΔNBO = ΔRBO = ΔABO

(vì cạnh huyền cân nhau ,góc nhọn bằng nhau)

* Suy ra OM = ON = OR = OS

* Vậy M,N,R,S ∈ O

Bài tập 2: Cho Δ ABC cân nặng tại A ; Nội tiếp Đường tròn (O) ; Đường cao AH giảm Đường tròn làm việc D .

1) Vì sao AD là 2 lần bán kính của (O) ?

2) Tính số đo góc ACD ?

3) Cho BC = 24 centimet ; AC = 20 cm ;Tính chiều cao AH và bán kính của (O)

* Lời giải:

1) Vì trung khu O là giao điểm của 3 đường trung trực của Δ ABC

Mà Δ ABC cân ở A yêu cầu đường cao AH cũng chính là trung trực ⇒ O ∈ AH

⇒ AD là dây qua trung tâm ⇒ AD là đường kính

2) Nối DC; OC

Ta tất cả CO là trung tuyến mà CO = AD/2 = R

⇒ Δ ACD vuông làm việc C đề xuất = 900

3) Vì AH là trung trực ⇒ bảo hành = HC = BC/2 =24/2 = 12

Xét Δ vuông AHC gồm : 

*

Xét Δ vuông ACD có : AC2 = AH .AD

⇒ AD = AC2 / AH = 202 /16 = 25 cm ⇒ R = AD /2 = 25 /2 =12,5 cm

Bài tập 3: Cho đường tròn (O) đường kính AB, điểm M thuộc con đường tròn, vẽ điểm N đối xứng cùng với A qua M; BN cắt đường tròn trên C, call E là giao điểm của AC với BM.

1) chứng minh:NE ⊥ AB

2) điện thoại tư vấn F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng tỏ FA là tiếp đường của mặt đường tròn (O)

3) Kẻ CH ⊥ AB (H∈AB) . Giả sử HB=R/2 , tính CB; AC theo R

Bài tập 4: Cho mặt đường tròn (O; R) đường kính AB, lấy điểm C trên phố tròn sao để cho AC = R.

1) Tính BC theo R và các góc của tam giác ABC.

Xem thêm: Lg Un70 Series 65” Hdr Smart Tivi Lg 4K 65 Inch 65Un7400Pta

2) call M là trung điểm của AO, vẽ dây CD đi qua M. Minh chứng tứ giác ACOD là hình thoi.

3) Tiếp tuyến đường tại C của mặt đường tròn cắt đường trực tiếp AB trên E. Chứng tỏ ED là tiếp tuyến đường của con đường tròn (O)

4) hai đường thẳng EC và vì chưng cắt nhau tại F. Chứng tỏ C là trung điểm của EF

Bài tập 5: Cho hai đường tròn (O; R) với (O; R’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp con đường chung không tính BC. Với B ∈ (O) với C (O")

1) Tính góc BÂC

2) Vẽ 2 lần bán kính BOD. Minh chứng 3 điểm C, A, D trực tiếp hàng

3) Tính DA.DC

4) Chứng minh OO’ là tiếp tuyến của mặt đường tròn có đường kính BC, và tính BC?

Bài tập 6: Cho đường tròn trọng tâm O, đường kính AB. Trên đường tròn lấy 1 điểm C thế nào cho AC>BC. Các tiếp tuyến tại A và C của đường tròn O cắt nhau tại D , BD cắt (O) tại E .Vẽ dây cung EF//AD ,vẽ CH vuông góc với AB tại H

1) Chứng minh : AE=AF và BE=BF

2) ADCO là tứ giác nội tiếp

3) DC2 = DE.DB

4) AF.CH = AC.EC

5) Gọi I là giao điểm của DH và AE , CI cắt AD tại K . Chứng tỏ : KE là tiếp tuyến của (O)

6) Từ E kẻ đường thẳng tuy vậy song v ới AB cắt KB tại S , OS cắt AE tại Q . Chứng minh : 3 điểm D,Q,F thẳng hàng