Cosx + Cos3X + 2Cos5X = 0 Câu Hỏi 994797

     
câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Toán 11 bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp (có đáp án)
*
Giải vì Vietjack


I. Phương trình hàng đầu đối với cùng một hàm số lượng giác

1. Định nghĩa.

Bạn đang xem: Cosx + cos3x + 2cos5x = 0 câu hỏi 994797

Phương trình hàng đầu đối với cùng 1 hàm con số giác là phương trình bao gồm dạng:

at + b = 0 (1)

Trong đó; a, b là những hằng số (a ≠ 0) cùng t là một trong những hàm số lượng giác.

- lấy một ví dụ 1.

a) – 3sinx + 8 = 0 là phương trình bậc nhất đối với sinx.

b) 6cotx + 10 = 0 là phương trình hàng đầu đối cùng với cotx.

2. Giải pháp giải

Chuyển vế rồi phân tách hai vế của phương trình (1) mang đến a, ta gửi phương trình (1) về phương trình lượng giác cơ bản.

- lấy ví dụ như 2. Giải những phương trình sau:

a) 2sinx – 4 = 0;

b) 3tanx− 3 =0.

Lời giải:

a) từ bỏ 2sinx – 4 = 0, gửi vế ta có: 2sinx = 4 (2)

Chia 2 vế của phương trình (2) mang đến 2, ta được: sinx = 2.

Vì 2 > 1 cần phương trình đã mang đến vô nghiệm.

b) từ bỏ 3tanx− 3 =0, đưa vế ta có: 3tanx= 3 (3)

Chia cả 2 vế của phương trình (3) đến 3 ta được: tanx= 33.

⇔tanx= tan π6  ⇔x = π6 +​ kπ;  k∈ℤ

3. Phương trình đem đến phương trình số 1 đối với một hàm số lượng giác.

- Phương pháp:

Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác đã có học để mang về phương trình số 1 đối cùng với hàm con số giác hoặc đem lại phương trình tích để giải phương trình.

- lấy một ví dụ 3. Giải những phương trình:

a) sin2x – cosx = 0;

b) – 4sinx. Cosx. Cos2x = 1.

Lời giải:

a) Ta có: sin2x – cosx = 0

⇔2sinx. Cosx – cosx = 0

⇔cosx. (2sinx – 1) = 0

⇔cosx  = 02sinx−1=0

+ với cosx = 0 thìx  =  π2  +  kπ;  k∈ℤ

+ với 2sinx – 1 = 0

⇔2sinx=1⇔sin x= 12⇔x =  π6  +​  k2πx = π− π6  +​  k2π =  5π6  +​  k2π ;  k ∈ℤ

Vậy phương trình đã đến có các nghiệm là: x  =  π2  +  kπ; x  =  π6  +  k2π và x  =  5π6  +  k2π;  k∈ℤ.

b) – 4sinx. Cosx. Cos2x = 1.

⇔– 2sin2x. Cos2x = 1 (vì sin2x = 2sinx. Cosx)

⇔– sin4x = 1 sin 4x = – 1

⇔4x = − π2  + k2π⇔x =  −π8  + kπ2  ;  k∈ℤ

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x =  −π8  + kπ2  ;  k∈ℤ.

II. Phương trình bậc hai đối với một hàm con số giác

1. Định nghĩa.

Phương trình bậc hai so với một hàm con số giác là phương trình có dạng:

at^2 + bt + c = 0

Trong kia a; b; c là những hằng số (a ≠ 0) với t là 1 trong những trong những hàm số lượng giác.

- lấy một ví dụ 4.

a) 3cos2x – 5cosx + 2 = 0 là phương trình bậc hai so với cosx.

b) – 10tan2x + 10tanx = 0 là phương trình bậc hai đối với tanx.

2. Bí quyết giải.

Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ cùng đặt đk cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này.

Cuối cùng ta đem lại việc giải những phương trình lượng giác cơ bản.

- lấy ví dụ 5. Giải phương trình: 2cos2x – 4 cosx = 0.

Xem thêm: Bộ Đề Đọc Hiểu Bài Thơ Mẹ: Lặng Rồi Cả Tiếng Con Ve, Bài Thơ: Mẹ (Trần Quốc Minh)

Lời giải:

Đặt t = cosx cùng với điều kiện: – 1 ≤ t ≤ 1 .

Ta được phương trình bậc hai ẩn t là: 2t^2 – 4t = 0.⇔t=0t  =2 .

Trong hai nghiệm này chỉ bao gồm nghiệm t = 0 thỏa mãn.

Với t = 0 thì cos x = 0

⇔x =  π2  +  kπ;  k∈ℤ

Vậy phương trình sẽ cho bao gồm nghiệm là x =  π2  +  kπ;  k∈ℤ.

3. Phương trình mang đến dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

- Phương pháp:

Sử dụng những công thức lượng giác sẽ học để biến hóa đưa về dạng phương trình bậc hai so với một hàm con số giác.

- lấy ví dụ như 6. Giải phương trình 3sin^2x – 6cosx – 3 = 0.

Lời giải:

Vì sin2x = 1 – cos2x yêu cầu phương trình đã đến tương đương:

3(1 – cos2x) – 6cosx – 3 = 0

⇔– 3cos2 x – 6cosx = 0 (*)

Đăt t = cosx cùng với điều kiện: – 1 ≤ t ≤ 1 , phương trình (*) trở thành:

– 3t2 – 6t = 0 ⇔t=0t= −2.

Trong nhì nghiệm này, chỉ tất cả nghiệm t = 0 thỏa mãn.

Với t = 0 thì; cosx = 0 ⇔x =  π2  +  kπ;  k∈ℤ.

Vậy phương trình sẽ cho gồm nghiệm là x =  π2  +  kπ;  k∈ℤ.

- ví dụ như 7. Giải phương trình: sin2x – 3sinx. Cosx + 2cos2x = 0 (1).

Lời giải:

+ nếu như cosx = 0 thì sin2x = 1 bắt buộc phương trình (1) tất cả :

VT(1) = 1 và VP(1) = 0

Suy ra, cos x = 0 không thỏa mãn phương trình (1) . Vậy cosx ≠ 0.

+ vì cosx ≠ 0 đề nghị chia nhị vế của phương trình (1) mang đến cos2 x, ta được:

tan2x – 3tanx + 2 = 0 (2)

Đặt t = tanx, phương trình (2) trở thành: t2 – 3t + 2 = 0

⇔t  =1t =2

Với t = 1 thì tanx = 1 ⇔x  = π4  +  kπ;  k ∈ℤ.

Với t = 2 thì tanx = 2 ⇔x  = arctan2 +  kπ;  k ∈ℤ.

Vậy phương trình đã mang đến có những nghiệm là x  = π4  +  kπ;  k ∈ℤvà x  = arctan2 +  kπ;  k ∈ ℤ.

III. Phương trình hàng đầu đối với sinx và cosx.

1. Công thức đổi khác biểu thức a.sinx + b.cosx

Ta có công thức biến đổi sau:

asinx+ ​b.cosx  =   a  2+​  b2. sin (x+​α) (1)

Trong đó; cosα  =   aa2+ b2;  sin α=  ba2+ b2.

2. Phương trình dạng: asinx + b.cosx = c.

Xét phương trình: asinx + bcosx = c (2)

Với a; b; c ∈R; a, b ko đồng thời bởi 0.

- nếu a = 0 ; b ≠ 0 hoặc a ≠ 0; b = 0 phương trình (2) có thể đưa tức thì về phương trình lượng giác cơ bản.

- ví như a ≠ 0; b ≠ 0, ta vận dụng công thức (1).

Ví dụ 8. Giải phương trình: 3sinx−  cosx =  2.

Xem thêm: So Sánh Ti Thể Và Lục Lạp Và Ti Thể, So Sánh Lục Lạp Và Ti Thể Câu Hỏi 103291

Lời giải:

Theo công thức (1) ta có:

3sinx−  cosx =  (3)2+​ 1. sin(x−  α)  =2sin(x−α)

Trong đó; cosα  =   32;  sin α  =  12. Ta đem α =  π6thì ta có:

3sinx−  cosx =  2sin x−  π6

Khi đó;3sinx−  cosx =  2

⇔  2sin x−  π6= 2⇔  sin x−  π6= 1⇔x−  π6  =  π2 +  k2π  ⇔x  =  2π3 +  k2π  ;  k∈ℤ

Vậy phương trình tất cả nghiệm là x  =  2π3 +  k2π  ;  k∈ℤ.